Cálculo vetorial: operações fundamentais
- Publicado em Telecomunicações
A seguir, temos uma breve descrição das operações mais fundamentais do cálculo vetorial: gradiente (), divergente () e rotacional (), além das suas aplicações mais importantes no eletromagnetismo (leis de Maxwell).
Operador Del ou Nabla ()
O operador é o mais utilizado no cálculo vetorial e representa as derivações parciais de uma função em relação às variáveis x, y e z (coordenadas retangulares) na direção dos próprios eixos:
De fato, temos um vetor com três operações diferenciais: derivadadas parciais em relação aos eixos do sistema de coordenadas.
Gradiente ()
O gradiente de uma função consiste na aplicação do operador Nabla em um campo escalar qualquer :
Como podemos observar, essa operação transforma um campo escalar em outro vetorial, cujo sentido físico é semelhante a de uma derivação comum (taxa de crescimento, etc.).
Exemplo
Como exemplo, calculemos o gradiente da função escalar :
Dessarte, o gradiente é uma operação matemática muito simples, mas importantíssima em inúmeras áreas do conhecimento.
Coordenadas cilíndricas e esféricas
Nesses sistemas de coordenadas, obteríamos as seguintes relações, respectivamente:
Divergente ()
O divergente constitui-se no produto escalar do operador Nabla com uma função vetorial :
Sendo ; ou seja, , e são as componentes da função .
Na verdade, alguns livros abordam o divergente como uma outra operação e não um produto escalar, utilizando a notação apenas como um mero artifício mnemônico.
Ao contrário da operação anterior, o divergente transforma um campo vetorial em outro escalar e este demonstra a tendência de um campo em divergir ou convergir em um ponto (x,y,z).
Campos vetoriais com divergente nulo em todos os pontos são denominados solenoidais. O campo densidade magnética é um bom exemplo de campo vetorial solenoidal.
A forma integral do operador corrobora a sua interpretação física:
Ou seja, se baseia na concepção do fluxo em uma superfície infinitesimal.
Exemplo
Não podemos aplicar esta operação no exemplo anterior, pois é um campo escalar. Portanto, apliquemos no campo :
Esse campo apresenta, por conseguinte, divergência nula apenas na origem (0,0,0).
Rotacional ()
O rotacional é uma operação um pouco mais complexa do que o gradiente e o divergente:
Na forma matricial, consiste no seguinte determinante:
Portanto, há a transformação de um campo vetorial em outro campo vetorial que determina a tendência daquele em circular ao redor de determinado ponto (em cada eixo).
O campo densidade magnética apresenta rotacional não-nulo e divergente nulo até que se prove a existência de monopolos magnéticos:
e
Exemplo
Podemos calcular o rotacional da função vetorial do exemplo anterior:
O resultado não surpreende devido ao aspecto dessa função.
Laplaciano ()
O laplaciano () é uma relação proveniente do gradiente e divergente:
Por exemplo, temos a equação de Laplace para campos eletrostáticos:
, derivada das seguintes relações:
(potencial elétrico) e
(Gauss)